RE24から見る無死１塁でのバントの損益分岐点

以前どの程度の打力があればバントをするより打たせた方がいいかの基準となる「バントの境界線」の
分析をしましたが、RE24を使った新たな手法でこれを求めます。

（今回から「バントの境界線」が「バントの損益分岐点」に変わりましたが
損益分岐点のほうがより相応しいと思い変えたまでで意味としては同じです。）

今回もヒッティング時とバント時の得点期待値、得点確率からバントの損益分岐点を求めるという点
は同じなのですが、前回のように実際の無死１塁があったイニング終了時の得点期待値、得点確率からではなく
無死１塁で打席を迎えた打者の打席完了時の得点期待値、得点確率のデータから求めることにしました。
こうすることにより調査対象である無死１塁で打席を迎えた打者の後続打者の影響を排除することができ
より精度の高いデータを得られるようになりました。

この無死１塁で打席を迎えた打者の打席完了時の得点期待値、得点確率を求めるのに登場するのがRE24です。
RE24なんて聞いたことがないという人も言葉としては知らなくてもこの表は見たことがあるかもしれません。

データは2004～2013年のNPBにおける得点期待値　（「勝てる野球の統計学 セイバーメトリクス」岩波書店より）

野球というスポーツは３つのアウトカウント、一塁、二塁、三塁のランナーの有無から２４通りの状況に分けることができ
RE24とはこのような状況別の得点期待値（Run Expectancy）のことです。同じように得点確率でも状況別で見ることができます。

データは2004～2013年のNPBにおける得点確率　　（同上）

こちらの状況別得点確率のほうの名称は分からないので、当ブログでは得点確率（Run Probability）の
頭文字を取ってRP24と呼ぶことにします。
今回の分析ではこのRE24とRP24に実際の選手の打撃成績を使ってバントの損益分岐点を求めていきます。

ここからバントの損益分岐点算出の説明となりますが、まずは基本的な考え方を理解してもらうために
簡単な例を出してみます。

　打たせたら３０％の確率でヒット（単打のみ）を打ち、７０％の確率で凡退する（併殺はない）
　バントをさせたら８０％の確率で成功し、２０％の確率で失敗する
　このような打者が無死１塁で打席を迎えた場合、得点期待値が高くなるのはヒッティングとバントのどちらか？
　また得点確率が高くなるのはヒッティングとバントのどちらか？

この問いにはRE24とRP24を使ってこのように計算することができます。

得点期待値を見る場合
ヒッティング時は３０％の確率で無死１，２塁（得点期待値 1.417）
　　　　　　　　　　７０％の確率で一死１塁　　（得点期待値 0.499）

　　　バント時は８０％の確率で一死２塁　　（得点期待値 0.687）
　　　　　　　　　　２０％の確率で一死１塁　　（得点期待値 0.499）

ヒッティング時の得点期待値　1.417×0.3＋0.499×0.7＝0.774
　　　バント時の得点期待値　0.687×0.8＋0.499×0.2＝0.649

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0.774－0.649＝0.125

ヒッティング時の得点期待値のほうが0.125高くなる。
つまり得点期待値を求める場合この打者には打たせた方がいいということになります。

得点確率を見る場合
ヒッティング時は３０％の確率で無死１，２塁（得点確率 60.4％）
　　　　　　　　　　７０％の確率で一死１塁　　（得点確率 26.0％）

　　　バント時は８０％の確率で一死２塁　　（得点確率 39.6％）
　　　　　　　　　　２０％の確率で一死１塁　　（得点確率 26.0％）

ヒッティング時の得点確率　0.604×0.3＋0.260×0.7＝0.363
　　　バント時の得点確率　0.396×0.8＋0.260×0.2＝0.369

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0.363－0.369＝-0.006

ヒッティング時の得点確率のほうが0.006低くなる。
つまり得点確率を求める場合この打者にはバントさせた方がいいということになります。

計算の中で出てきた
ヒッティング時とバント時の得点期待値の差　0.774－0.649＝0.125
ヒッティング時とバント時の得点確率の差　　0.363－0.369＝-0.006　

これらの数値を当ブログではそれぞれ得点期待値利得、得点確率利得と呼び
この値がプラスになるかマイナスになるかによって打たせるべきかバントさせるべきかの判断基準としています。
タイトルにもある「バントの損益分岐点」とはまさにこの数値が0になる時のことで
どういう打者の時に0となるかを求めるのがこの分析の目的というわけです。

先ほどの例は得点期待値利得、得点確率利得の考え方を理解してもらうための簡単なものでしたが
実際のプロ野球はこんな単純なものではありません。
四死球、単打、二塁打、三塁打、本塁打。併殺打があれば進塁打もあります。
今度はこれらの要素も含めたうえで実際の選手の打撃成績を使って計算していきます。
まずは得点期待値を求める場合から。

無死１塁での得点期待値の計算式（ヒッティング時）

　無死１，２塁RE×四死球率＋無死１，２塁RE×単打率×0.76＋無死１，３塁RE×単打率×0.24
＋無死２，３塁RE×二塁打率×0.7＋（１＋無死２塁RE）×二塁打率×0.3＋（１＋無死３塁RE）×三塁打率
＋（２＋無死走者なしRE）×本塁打率＋一死２塁RE×0.07＋二死走者なしRE×0.1＋一死１塁RE×（１－出塁率－0.07－0.1）

かなり長い式となりましたが式の考え方としては最初の例と同じです。
いくつか説明が必要ですがまず式中のREとは得点期待値の略のことで、○○率とは各指標の打席に占める割合を意味します。
ただ打席と言っても公式記録の打席をそのまま使うと犠打数も含まれてしまうため　打数＋四球＋死球＋犠飛
の数値を使って計算しています。ちなみにこの数値は出塁率を計算する時の分母と同じものです。

単打と二塁打はそれぞれ２つありますがこれは単打であれば無死１，２塁と無死１，３塁になる場合
二塁打であれば無死２，３塁と１塁ランナーが生還しての無死２塁になる場合に分かれるためです。
0.76と0.24、0.7と0.3という割合の数値は僕が2014年シーズンの無死１塁の全打席から調べたデータを使っています。
１＋無死２塁REとなっているのは二塁打を放ち１塁ランナーが生還した際の得点期待値という意味です。

一死２塁RE×0.07　この７％は進塁打率でこれも2014年シーズンの無死１塁の全打席から進塁打が出る割合を調べたものです。
二死走者なしRE×0.1　この１０％は併殺打率で2013～2014年の平均値となります。
併殺打率は各打者ごとで差が出るものなのですが、後で変数として改めて分析するためここでは固定値として扱います。
バント成功率についても同様に改めて分析するためここでは固定値0.82で計算します。
（2013～2014年の標準的な野手の平均バント成功率８２％）
エラーについてはヒッティング時、バント時共通して式に加えませんでした。

無死１塁での得点期待値の計算式（バント時）

　一死２塁RE×バント成功率×0.98＋無死１，２塁RE×バント成功率×0.02＋一死１塁RE×（１－バント成功率）

ヒッティング時の式に比べるとだいぶシンプルなものになりました。
バント成功で0.98、0.02の割合で分かれていますが、この２％はバントをして内野安打となり１塁もセーフになった場合
のことです。稀ですが割合にして２％ほどあるためこれも式に組み込んでいます。

では実際の選手の成績を入れて計算してみましょう。2014年の陽の打撃成績を使って計算します。

　1.417×（45+12）/531＋1.417×94/531×0.76＋1.721×94/531×0.24
＋1.974×18/531×0.7＋（1+1.04）×18/531×0.3＋（1+1.36）×1/531
＋（2+0.455）×25/531＋0.687×0.07＋0.091×0.1＋0.499×(1-0.367-0.07-0.1)　＝0.892

2014年の陽の打力なら得点期待値は0.892と出ました。続いてはバント時
先ほど書いたようにバント成功率0.82を入れて計算すると

　0.687×0.82×0.98＋1.417×0.82×0.02＋0.499×(1-0.82)　＝0.665

2014年の陽の得点期待値利得は

　0.892－0.665　＝0.227

と求められました。

一例として陽の打撃成績を用いて計算しましたが、2014年の打席数100以上の選手170人でも同じ計算をして
170人分の得点期待値利得を出しておきます。

ところでバントの損益分岐点となる打力はどの程度の打力なのか？を求めるのがこの分析の目的ですが
一概に「打力」と言っても打率、出塁率などいくつか打撃指標が存在します。打力が高く、得点期待値利得の高い選手ほど
無死１塁でヒッティングさせたほうがいいということは分かりましたが具体的にどの打撃指標で見るべきなのか。
次にこれを求めます。

その求め方ですが先ほど出した170人分の得点期待値利得と各選手の打率、出塁率、長打率、ＯＰＳの４つの
打撃指標との相関係数を調べるというものです。相関係数とは２つのデータ群にどれだけ関連性があるかを
0～1（もしくは0～-1）で表す値のことで、その値が１（もしくは－１）に近いほどその関連性が強いと言えます。
得点期待値利得と４つの打撃指標との相関係数はこのようになりました。

ＯＰＳ　　0.978
出塁率　0.950
長打率　0.886
打率　 　0.831

元々得点との相関が強いと言われるＯＰＳが得点期待値利得との相関でも最も強いという結果となりました。

この170人分のデータを散布図にするとこのようになります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ＝相関係数、Ｒの二乗＝決定係数）

この図からもＯＰＳが高くなるにつれ得点期待値利得も高くなることがよく分かるかと思います。
図中の赤い線はデータ群の分布傾向を一次式で表した回帰直線です。
この回帰直線と得点期待値利得が0（ｙ=0）つまりｘ軸との交点がバントの損益分岐点ということになります。
あとは回帰直線の式にｙ=0を代入してｘの値を求めるだけです。

　ｙ=0.4412ｘ-0.1463　
　ｘ=0.1463÷0.4412
　ｘ=0.332

得点期待値を求める場合、無死１塁でのバントの損益分岐点はＯＰＳ.332と出ました。

次に得点確率を求める場合ですが、やり方自体は得点期待値の時と同じです。計算式から見ていきましょう。

無死１塁での得点確率の計算式（ヒッティング時）

　無死１，２塁RP×四死球率＋無死１，２塁RP×単打率×0.76＋無死１，３塁RP×単打率×0.24
＋無死２，３塁RP×二塁打率×0.7＋１×二塁打率×0.3＋１×三塁打率＋１×本塁打率
＋一死２塁RP×0.07＋二死走者なしRP×0.1＋一死１塁RP×（１－出塁率－0.07－0.1）

式中のRPとは得点確率（Run Probability）の略。
３０％の二塁打、三塁打、本塁打の係数が１となっているのは無死１塁から長打を放ち点が入る時
得点確率１００％という意味です。

無死１塁での得点確率の計算式（バント時）

　一死２塁RP×バント成功率×0.98＋無死１，２塁RP×バント成功率×0.02＋一死１塁RP×（１－バント成功率）

こちらも2014年の陽の打撃成績を入れて計算します。

　0.604×（45+12）/531＋0.604×94/531×0.76＋0.831×94/531×0.24
＋0.836×18/531×0.7＋1×18/531×0.3＋1×1/531＋1×25/531
＋0.396×0.07＋0.06×0.1＋0.26×(1-0.367-0.07-0.1)　　　　　＝0.414

バント成功率0.82を入れて計算すると

　0.396×0.82×0.98＋0.604×0.82×0.02＋0.26×(1-0.82)　　　＝0.375

2014年の陽の得点確率利得は

　0.414－0.375　＝0.039

と求められました。

先ほどと同じように2014年の打席数100以上の選手170人分の得点確率利得を求め各打撃指標との相関係数を調べます。
得点確率利得と４つの打撃指標との相関係数はこのようになりました。

ＯＰＳ　　0.977
出塁率　0.949
長打率　0.886
打率　 　0.850

得点期待値利得同様、ＯＰＳが最も強い相関を示しました。
散布図にするとこのようになります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｒ＝相関係数、Ｒの二乗＝決定係数）

この回帰直線と得点確率利得が0のｘ軸との交点がバントの損益分岐点となります。
回帰直線の式でｙ=0の時のｘの値を計算すると

　ｙ=0.17ｘ-0.1035　
　ｘ=0.1035÷0.17
　ｘ=0.609

得点確率を求める場合、無死１塁でのバントの損益分岐点はＯＰＳ.609と出ました。

得点期待値を求める場合の無死１塁でのバントの損益分岐点はＯＰＳ.332でしたが
野手でＯＰＳ.332以下の選手はまずいないでしょう。この場合のバントは愚策と言えます。
ただ投手ではＯＰＳ.332以下ということもあるでしょうからそういう投手であればバント
させたほうがいいと言えます。

得点確率を求める場合の無死１塁でのバントの損益分岐点はＯＰＳ.609でした。
2014年の野手の平均ＯＰＳはパリーグ.710、セリーグ.742（両リーグ合計の投手の平均ＯＰＳは.272）なので
ＯＰＳ.609はかなり打てない打者と言えます。つまりこの基準以下の打者がバントをしてようやく
バントの恩恵を得られるということです。逆にこの基準以上の打者はバントをするより打たせた方がよく
高ＯＰＳであればあるほど得点確率利得も高くなっていくということが分かりました。

RE24のデータの用い方を分かりやすく伝えようと心掛けて書いたため少々説明部分が長くなってしまいましたが
今回の無死１塁でのバントの損益分岐点を探る分析はいかがだったでしょうか。
バントの是非を巡る議論は野球ファンの中でも絶えることのないテーマであり、そこでは個々の嗜好が多分に含まれている
こともあったでしょう。これまでも無死１塁で打たせた場合とバントさせた場合の得点確率を比較したデータこそありましたが
打者の打力は考慮されておらずそのせいか極端な議論にもなりがちでした。
RE24、RP24を用いた得点期待値利得、得点確率利得という考え方から求めた「バントの損益分岐点」を
バントの是非に対する僕の１つの答えとして提示します。

さて無死１塁でのバントの損益分岐点を出すことができましたが実は続きがあります。
文中でも少し触れましたが今回の分析結果はバント成功率８２％、併殺打率１０％での場合です。
次回はこのバント成功率と併殺打率が変わることによってバントの損益分岐点がどれくらい変動するのかを分析します。